例: mandelbrot

import "sys" のプリミティブを使って Mandelbrot 集合 を描画するプログラムです。すべてのロジックが 2-cell の合成として記述されています。

全体コード

import "sys"

fdup = val.dup[f32]

square :=
  val.dup[f32x2];
  f32x2.unpack f32x2.unpack;
  (fdup; f32.mul) (fdup; f32.mul) (f32.lit[2] f32.mul; f32.mul);
  f32.sub f32;
  f32x2.pack

step: f32x2 f32x2 → f32x2 f32x2 =
  square val.dup[f32x2]; f32x2.add f32x2

rep4[x: C → C, f: x → x]: x → x = f; f; f; f
step4 := rep4[f32x2 f32x2, step]
step16 := rep4[f32x2 f32x2, step4]
step64 := rep4[f32x2 f32x2, step16]

coloring: f32x2 → f32 := f32x2.unpack;
  (fdup; f32.mul) (fdup; f32.mul);
  f32.add f32.lit[2];
  f32.le;
  f32.lit[1] f32.lit[0] bool;
  bool.ind[f32]

result = f32x2.lit[0,0] (f32x2 f32x2.lit[0.6,0.5]; f32x2.sub; f32.lit[3] f32x2; f32x2.scale);
  step64; 
  f32x2 val.drop[f32x2];
  coloring

解説

前提: sys ライブラリ

import "sys" により、以下のプリミティブが使えます:

• f32, f32x2 — 浮動小数点型。すべて C → C の 1-cell
• f32.add, f32.mul, f32.sub — 算術演算（2つの f32 を受け取り f32 を返す 2-cell）
• f32x2.pack / f32x2.unpack — f32 f32 ↔ f32x2 の変換
• val.dup[x] — x → x x（値の複製）
• val.drop[x] — x → C（値の破棄）

Donut では関数は 2-cell の合成であり、すべてのデータは 1-cell の「ワイヤー」として流れます。

fdup: f32 の複製

fdup = val.dup[f32]

f32 → f32 f32。1つの f32 値を複製して2つにします。頻出するのでエイリアスしています。

square: 複素数の二乗

square :=
  val.dup[f32x2];
  f32x2.unpack f32x2.unpack;
  (fdup; f32.mul) (fdup; f32.mul) (f32.lit[2] f32.mul; f32.mul);
  f32.sub f32;
  f32x2.pack

型は f32x2 → f32x2。複素数 (z = a + bi) の二乗 (z^2 = (a^2 - b^2) + 2abi) を計算します。

データフローを追うと:

1. val.dup[f32x2] — 入力 (a, b) を複製: (a, b) (a, b)
2. f32x2.unpack f32x2.unpack — 展開: a b a b
3. (fdup; f32.mul) (fdup; f32.mul) (f32.lit[2] f32.mul; f32.mul)
   • 最初の2つ: a を複製して a*a、b を複製して b*b
   • 3つ目: 定数 2 と a と b を掛けて 2*a*b
   • 結果: a² b² 2ab
4. f32.sub f32 — a² - b² と 2ab
5. f32x2.pack — (a² - b², 2ab) にパック

:= で定義しているので、square は独立したセルとして宣言されつつ、評価時にはこの合成として計算されます。

step: Mandelbrot の反復ステップ

step: f32x2 f32x2 → f32x2 f32x2 =
  square val.dup[f32x2]; f32x2.add f32x2

型は f32x2 f32x2 → f32x2 f32x2。入力は (z, c) で、(z \leftarrow z^2 + c) を計算して (z', c) を返します。

1. square val.dup[f32x2] — z に square を適用して z² にし、c を複製: z² c c
2. f32x2.add f32x2 — z² + c と c: (z²+c, c)

c を保持したまま z を更新するので、繰り返し適用できます。

rep4 と反復

rep4[x: C → C, f: x → x]: x → x = f; f; f; f
step4 := rep4[f32x2 f32x2, step]
step16 := rep4[f32x2 f32x2, step4]
step64 := rep4[f32x2 f32x2, step16]

rep4 はパラメトリックな定義で、任意の 2-cell f: x → x を4回繰り返します。

• step4 = step を 4 回 = 4 回反復
• step16 = step4 を 4 回 = 16 回反復
• step64 = step16 を 4 回 = 64 回反復

:= で定義しているので、それぞれ独立したセルとして扱いつつ、評価時には展開されます。

coloring: 発散判定

coloring: f32x2 → f32 := f32x2.unpack;
  (fdup; f32.mul) (fdup; f32.mul);
  f32.add f32.lit[2];
  f32.le;
  f32.lit[1] f32.lit[0] bool;
  bool.ind[f32]

型は f32x2 → f32。最終的な z の値から色を決定します。

1. f32x2.unpack — (a, b) を a b に展開
2. (fdup; f32.mul) (fdup; f32.mul) — a² と b² を計算
3. f32.add f32.lit[2] — a² + b² と定数 2
4. f32.le — a² + b² ≤ 2 → bool
5. f32.lit[1] f32.lit[0] bool — 定数 1、定数 0、判定結果を並べる
6. bool.ind[f32] — bool の値で分岐。真なら 1（集合内）、偽なら 0（発散）

result: 全体の組み立て

result = f32x2.lit[0,0] (f32x2 f32x2.lit[0.6,0.5]; f32x2.sub; f32.lit[3] f32x2; f32x2.scale);
  step64; 
  f32x2 val.drop[f32x2];
  coloring

型は f32x2 → f32。ピクセル座標 f32x2（入力）を受け取り、色 f32 を返します。

1. 初期値の準備: z = (0, 0) と c を用意。c は入力座標を (0.6, 0.5) を中心に、スケール 3 で変換したもの
2. step64 — 64 回反復
3. f32x2 val.drop[f32x2] — c を捨てて z だけ残す
4. coloring — 発散判定して色に変換

ポイント

• すべてのロジックが 2-cell の合成 で表現されている
• 分岐（if/else）は bool.ind で実現
• ループは rep4 のパラメトリック定義を入れ子にして実現
• :=（定義）を使うことで、中間セルに名前を付けつつ評価時は展開